A estudiar!

Queden pocs dies per a l'exam i sé que, com sempre, els resultats seran prou bons. No obstant, sempre hem de preparar-nos al màxim per a la guerra. Per això us deixe aquest enllaç, on trobareu 21 problemes de proporcionalitat i percentatges que us posaran a prova. Contenen les sol·lucions i així permeten que valoreu com aneu de preparats. A la càrrega!

PROBLEMES AMB PERCENTATGES

Molt bé, xics i xiques. En els últims dies hem començat el principi del final de la nostra unitat 4, dedicada a la proporcionalitat numèrica. Aquesta següent meitat del tema la dediquem als percentatges, concepte de gran importància que,per tant, convé conèixer molt bé.

Realment, els percentatges s'empren per múltiples activitats a la vida quotidiana. Les rebaixes en són un exemple. De segur que heu vist fa poc algun cartell a les grans superfícies com el següent:

Qué és exactament un 50%? Com s'interpreta? Un 50% es llig com a 50 de cada 100. És, per tant, una manera d'expressar quant representa una part respecte d'un total. Per exemple, un percentatge molt recurrent en els últims anys és el de la població sense treball, que rondava el 21% el desembre de 2015. Açò vol dir que per cada 100 persones, a Espanya trobem 21 persones aturades. 

O, per exemple, podem tenir el cas de la següent informació nutricional d'un producte com la margarina:

Segons aquesta imatge, una determinada marca de margarina conté un 30% de vitamina A. Per tant, per cada 100 g de margarina estarem ingerint 30 g d'aquesta vitamina. Han evitat escriure el percentatge que representen els greixos perquè, com veieu, a un cop d'ull decidiríem no comprar-la ;).

Entés el concepte de percentatge? Doncs ja esteu a un 20% de tot el que heu de saber. Ara us presente tres problemes resolts pas a pas per mostrar-vos com sol·lucionar problemes en què apareixen percentatges. No és gens difícil si ja sabeu la regla de tres simple directa, tal com hem vist a classe.

PROBLEMA 1.

Maria ha gastat el 30% dels seus estavis en un MP3. Si tenia estalviats 230 €, quant ha gastat en aquest article?

A. Sabem que el total, això és, el 100%, són 230 €, que és el diner que Maria tenia estalviats. La part, que representa el 30%, és el que no coneixem. 

B. Això ho escrivim com seguix: si el 100% el representen 230 €, el 30% el representen X €.

100%-----------230€

                                                                    30%------------X

C. De sobres sabem ja resoldre regles de tres. En aquest cas, tindríem:

X=(230*30)/100=69€

Fàcil, veritat? Ara vegem un altre tipus de problema, en què emprarem la regla de tres però haurem d'averiguar una altra dada.

PROBLEMA 2.

Àngel ha emprat 30 g de farina per fer coca en llanda. Si la farina representa el 45%, quants grams pesa la coca en llanda?

A. En aquest cas, coneixem la part, que són els 30 g de farina emprats, i que representen un 45%. És el total, que ve a representar sempre un 100%, el que no coneixem.

B. Ara escrivim, per tant: Si el 100% representa X, el 45% representa 30 g.

100%----------X

  45%---------30

C. I  a calcular, aplicant la regla de tres directa:

X=(300*100)/45=3000/45=66,67 g

Com podeu veure, tan sols canvia com col·loquem les dades, però el procediment és el mateix.

PROBLEMA 3. 

A la meva classe de 2n. A en som 23 alumnes i trobem 11 xics. Quin percentatge de xics hi trobem? I de xiques?

A. El total d'alumnes és de 23, i està representat pel 100% dels alumnes. 11 en són xics, i representen una part del X%.

B. Seguint la regla de tres directa, tenim:

100%--------23

    X%-------11

C, de calculem:

X=(11*100)/23=1100/23=47,83%

Solventato!!

Quin percentatge representen les xiques? No perguem molt més temps. Si el 100% representa el total, la diferència entre el 100% i el percentatge dels xics ens dóna el percentatge de xiques, que serà:

% de xiques= 100% -47,83%= 52,17%

Fins ací els primers càlculs amb percentatges. En el pròxim post us explicaré amb detall alguns problemetes amb increments i decreixements percentuals. Ja veureu com no és gens difícil;)).

LA PROPORCIONALITAT COMPOSTA

Fins el moment hem vist problemes de proporcionalitat en què tan sols hi intervenen dues magnituds. Tal és el cas del problema en què es relacionen la nata i una receta de pasta a la carbonara per a x persones; o el cas en què es relacionen la velocitat d'un tren i el temps que tarda en arribar a un determinat punt. No obstant, la realitat, per alguns casos, no és tan senzilla,  això és: la velocitat pot no ser l'única magnitud que determine el temps que un tren tarda en arribar a un punt; o potser el cost de la gasolina no està tan sols determinat pel total de km que recòrrec.

És, per aquesta raó, que potser necessitem incloure més informació als nostres càlculs. D'aquesta manera els faríem més acertats i reduiríem l'error a les nostres estimacions. Quan incloem més de dues magnituds en un problema de proporcionalitat ja parlem d'un problema de proporcionalitat composta. Paraules majors, tal com heu vist a classe. 

Al següent vídeo trobem una clara explicació de com resoldre un problema de proporcionalitat composta amb tres magnituds. Us servirà per recordar el vist a classe. 

Al vídeo anterior hem vist el cas d'un problema en què la magnitud a calcular es relacionava de manera directa amb les altres dues. No obstant, pot donar-se que una magnitud i la que volem calcular es relacionen de manera inversa. Imaginem que 3 treballadors tarden 8 dies a construir un mur de 300 metres. Quant tardarien 4 treballadors per alçar un mur de 250 metres? 

Procedim com al vídeo i presentem les dades ordenades per columnes, tal com mostre ara:

Metres                     Treballadors           Dies

300                                   3                       8

250                                   4                       X

Ara podem veure com la relació entre els dies i els metres és directa (al doble de metres, el doble de dies), mentres que quan ho comparem amb els nombre de treballadors, la relació és inversa (al doble de treballadors, la meitat de dies).

Com es tracta d'una relació inversa, donarem la volta a les dades d'aquesta magnitud, donant-se que les dades se presentaran com seguix:

Metres                     Treballadors           Dies

300                                   4                       8

250                                    3                       X

I el càlcul, per tant:

300*4     8

--------= ----

250*3      X

1200       8

-------=------

 450       X

I ara fem el prodecute creuat propi de les proporcions, donant-se:

1200*X=450*8

1200*X=3600

X=3600/1200=3 dies

I, d'aquesta manera, conseguim un càlcul amb més precisió dels dies que tardaríem a construir aquest mur, que si tan sols contàrem amb els metres a alçar o el nombre de treballadors.

PROPORCIONALITAT INVERSA

Fins el moment hem vist magnituds que guarden entre elles una relació de proporcionalitat directa, això és, que quan doblem una magnitud, l'altra s'incrementa el doble. No obstant, també podem trobar altres relacions entre dues magnituds que es comporten al contrari. 

Pensem en el cas d'un tren que, a una velocitat de 80 km/h, tarda en arribar a Canals desde un punt qualsevol 3 hores. Si viatjara a 160 km/h, a més d'haver de pagar una multa, tardaria... el doble o la meitat de temps?

Efectivament, tardaria la meitat de temps, és a dir, 1h 30 min. I si la velocitat fos de 40 km/h? Com parlem de la meitat de velocitat, tardarem el doble de temps: 6 hores.

Troncho i Poncho parlen de la proporcionalitat inversa a partir del minut 5:58 del següent vídeo.

Troncho i Poncho expliquen el mètode de resolució dels problemes de proporcionalitat inversa tal com hem vist a classe. Aplicant-ho al cas del tren, es donaria la següent taula de proporcionalitat inversa:

Velocitat (km/h)	40	80	160
Temps (h)	6	3	1,5

En aquesta taula podem veure com es dóna que els productes entre les dues magnituds coincidixen sempre:

40*6=80*3=160*1,5=240

240 és la constant de proporcionalitat inversa. A partir d'aquesta podem calcular quant tardaria en arribar a Canals, per exemple, a una velocitat de 90 km/h, ja que:

Velocitat (km/h)	40	90
Temps (h)	6	x

40*60=90*x=240

x=240/90=2,67 hores

Un altre mètode és la regla de tres inversa, en què es dóna que:

40------------6

90-------------x

Com la relació que hi ha entre ambdues magnituds és inversa, l'una reacciona de manera inversa a l'altra, de manera que hem de donar la volta a alguna magnitud, tal com faig amb les velocitats:

90----------6

40-----------x

Ara fem com a una regla de tres directa i veiem com obtenim el mateix resultat:

x=40*6/90=2,67 hores

Per finalitzar, vos presente uns exercicis interactius per començar amb els pasos per resoldre problemes de proporcionalitat. Com bé sabeu,el primer pas és saber si trobem un relació de proporcionalitat directa o inversa. Al següent enllaç us deixe una sèrie de casos per posar-vos a prova, de manera interactiva. 

PROPORCIONALITAT DIRECTA

Com bé hem estat veient a classe, una raó és un quocient que trobem entre dues magnituds que guarden qualsevol tipus de relació. A classe he emprat com a exemple el cas dels quilòmetres i el cost en què incorreríem en gasolina. Ara us presente un altre exemple: moltes voltes veieu que les receptes de les revistes es presenten per a 4 persones. Imaginem que per cuinar una recepta de pasta a la carbonara per a 4 persones necessiten 200 mg. de nata. Podem escriure dues raons ben diferents:

- O bé escrivim la raó 4 persones/200 grams, que ens diria que per cada mil·ligram de nata hi trobem menjant 0,02 persones (:0)

- O bé podem escriure una més fàcil d'interpretar: 200 grams/4 persones, que ens diria que, llògicament, necessitem 50 mil·ligrams de nata per persona.

Aquesta última raó la llegim dient que 200 mg. equivalen a 4 persones.

Òbviament, aquestes dues raons no ens donaran el mateix resultat numèric perquè, com hem vist, no signifiquen el mateix. Recordeu una cosa que us vaig dir: l'una és sempre la inversa de l'altra. És, per tant, com si trobéssim dues cares diferents d'una mateixa moneda.

Què passaria si volguéssim preparar la mateixa recepta per a 8 persones? Doncs que, llògicament, necessitaríem el doble de nata, això és... 2*200=400 mg.

En aquest cas, una raó que podríem escriure és 400 mg./8 persones, que de nou ens dóna un resultat de (fes la prova)... 50 mg. per persona! Quan ocorre açò, trobem una proporció, que s'escriu com seguix:

200       400

-----  =  -----

  4           8

I la seva lectura, recordeu, seria que 200 mg. equivaldrien e 4 persones com 400 mg. equivalen a 8 persones. 

Quan sabem que es dóna una proporció entre dues magnituds ja sabem que podem calcular el valor d'una d'elles sabent el valor de l'altra. En aquest cas, sabent que es dóna una proporció com l'anterior podríem calcular, per exemple, quanta nata necessitem per a 2 persones. En aquest cas, trobaríem:

200     x

-----=-----

  4        2

Com que, en una proporció, trobem que el producte dels mitjans iguala el producte dels extrems, doncs:

200*2=4*x

400=4*x

x=400/4=100 mg.

Per tant, per dues persones necessitaríem 100 mg. de nata. ;))

Per finalitzar, vos deixe un vídeo de Troncho i Poncho en què us expliquen amb detall què significa que dues magnituds siguen dirèctament proporcionals. Espere que us agrade i, sobretot, que em pregunteu els vostres dubtes als comentaris. ;)